Attracteur de Lorenz : L’effet papillon

Time : 13 mn 21

Synopsis :

En 1963, Edward Lorenz (1917-2008), qui s’intéressait au problème de la convection dans l’atmosphère terrestre, simplifia drastiquement les équations de Navier-Stokes de la mécanique des fluides, réputées pour leur inextricable complexité. Le modèle atmosphérique de Lorenz est ce que les physiciens appellent un modèle-jouet : bien qu’il n’ait probablement pas grand-chose à voir avec la réalité, Lorenz ne tarda pas à réaliser qu’il s’agissait d’un modèle mathématique très intéressant. Les équations de Lorenz ne font intervenir que trois nombres x, y et z, de sorte que chaque point (x, y, z) de l’espace symbolise un état de l’atmosphère et l’évolution consiste à suivre un champ de vecteurs.

Comprendre l’évolution du temps qu’il fait dans l’atmosphère virtuelle de Lorenz revient à suivre une trajectoire de ce champ de vecteurs. N’oublions pas qu’il s’agit d’un modèle-jouet et que l’objectif est d’essayer de comprendre les grandes lignes d’un comportement complexe.

Si l’on considère deux atmosphères presque identiques, donc représentées par les centres de deux petites boules extrêmement proches, rapidement les deux évolutions se séparent de manière significative : les deux atmosphères deviennent complètement différentes. Lorenz a pu constater sur son modèle la dépendance sensible aux conditions initiales, le chaos.

Mais plus intéressant, partant d’un grand nombre d’atmosphères virtuelles, bien qu’un peu folles et bien peu prévisibles, les trajectoires semblent toutes s’accumuler sur un même objet en forme de papillon, popularisé sous le nom d’attracteur de Lorenz, un attracteur bien étrange…

Comprendre l’attracteur de Lorenz a un véritable enjeu scientifique. À quoi ressemble-il précisément ? Comment se comporte sa dynamique interne ? C’est pour essayer de répondre à ces questions que, dans les années 1970, Birman, Guckenheimer et Williams ont proposé un modèle simple que l’on peut construire à l’aide de bandes de papier : comme pour le fer à cheval, l’on est passé d’une dynamique en temps continu à une dynamique en temps discret.

Il aura fallu attendre 2001 pour que le mathématicien Warwick Tucker démontre que les bandes de papier décrivent bien le mouvement de Lorenz : pour chaque trajectoire dans l’attracteur de Lorenz, il existe une trajectoire sur les bandes de papier qui se comporte exactement de la même manière. Même si tout ceci reste encore très simpliste par rapport au vrai phénomène météorologique, c’est une illustration du fait que les choses simples, les mathématiciens aiment !

Les lois du désordre

Durant des siècles, on a cru que la science permettrait, progressivement, de comprendre l’univers physique, et donc de prédire de nombreux événements, comme, par exemple, l’évolution du temps. Mais la découverte, il y a quelques années, de ce que l’on appelle le “chaos déterministe”, est venue remettre en cause cette certitude. Car le chaos, contrairement à ce que l’on pense bien souvent, ce n’est pas le désordre, ce serait plutôt… le paradoxe ! En effet, bien que parfaitement ordonné, nul ne peut dire comment il va évoluer ! Cette découverte a révolutionné nos connaissances en physique, astrophysique, chimie…

Lorsque l’on observe un système chaotique, on a l’impression que les événements se produisent au hasard. Rien n’est plus faux !